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授業概要
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複素関数論入門
1. 複素数・複素平面・複素数演算の幾何学的意味
2. 複素変数の関数と正則性(その1： 平面写像との比較，微分可能性，コーシー・リーマンの定理)
3. 複素変数の関数と正則性(その2： べき乗関数，指数関数，三角関数，有理関数，双曲線関数)
4. 複素変数の関数と正則性(その3： つづき．対数関数，べき乗根，一般のべき）
5. 複素積分とその応用(その1： 線積分，線積分計算例，円周および矩形周の場合のコーシーの積分定理)
6. 複素積分とその応用(その2： コーシーの積分公式の応用，計算例exp(−x2) cos(ax) など)
7. コーシーの積分公式とテイラー展開(その1：導出と説明．テイラー級数の収束の簡略な扱い)
8. コーシーの積分公式とテイラー展開(その2：例)
9. 留数定理とその応用(その1： 特異点，極，零点，留数，例：1次分数関数，簡単な有理関数)
10. 留数定理とその応用(その2： ローラン展開と説明．計算例)
11. 留数定理とその応用(その3： 定積分への応用．簡単な例)
12. 1次分数変換と 等角写像
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Introduction to complex analysis
1.Geometric interpretations of complex numbers, complex plane and arithmetic operations of complex numbers.
2.Functions of complex variables and holomorphic functions (1): comparison to functions on a plane, differentiability, Cauchy-Riemann’s theorem.
3.Functions of complex variables and holomorphic functions (2): power functions, exponential functions, trigonometric functions, rational functions, hyperbolic functions.
4.Functions of complex variables and holomorphic functions (3): logarithmic functions, n-th root function, general power functions.
5.Complex integral and its applications (1): line integral, calculation examples of line integral, Cauchy’s integral theorem for circumferences and rectangles.
6.Complex integral and its applications (2): applications of Cauchy’s integral formula, calculation examples (e.g., exp(-x2)cos(ax)).
7.Cauchy’s integral formula and Taylor expansion (1): derivation and exposition,simple manipulation for convergence of Taylor series.
8.Cauchy’s integral formula and Taylor expansion (2): examples.
9.Residue theorem and its applications (1): singularities, poles, zero points, residues, examples:linear fractional functions, simple rational functions
10.Residue theorem and its applications (2): Laurent expansion and exposition, calculation examples.
11.Residue theorem and its applications (3): applications to definite integral, simple examples.
12.Linear fractional transformations and conformal mappings."
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